MA.5.2 函数的可积性

Recall: Riemann 和的局限

• 两个任意难以满足：${\xi }_i$ $||T||$ 难满足
• 因此 $f({\xi }_i)$ 需要尽量大/小 （不一定是端点）
  • => 区间最大值（有界函数不一定有）
  • =>上确界

一、函数的可积性

Darboux 和

设 $f$ 在 $[a,b]$ 有界, 其上,下确界为 $M,m$. 振幅 $\omega =M-m$

• 与介点集无关，$R$ 和介于 $\bar{S}$, $\underset{―}{S}$
• 分割 $T\to \underset{―}{S},\bar{S}$： $||T||\downarrow n\uparrow$

引理1：加细分割

• 加细分割具有 上和减小，下和增加 性
• 而且“减少/增加不了多少”：是受控的，受控于 $l\omega ||T||$

Proof

$$\begin{array}{rl}& \text{只需证明 }l=1\text{ 的情形, 假设分割加入 }{x}^{\prime }\\ & \text{分割 }{T}^{\prime }:=T\cup \left\{x^{\prime }\right\},x^{\prime }\in (x_{k-1},x_k)\\ & \begin{array}{rl}\text{则 }\bar{S}(T)-\bar{S}(T^{\prime })& =M_k\mathrm{\Delta }{x}_k-[M_k^{\prime }(x^{\prime }-x_{k-1})+M_k^{″}(x_k-x^{\prime })]\\ & \ge M_k\mathrm{\Delta }{x}_k-[M_k(x^{\prime }-x_{k-1})+M_k(x_k-x^{\prime })]& \dots \text{放缩}\\ & =0\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\text{且 }\bar{S}(T)-\bar{S}(T^{\prime })& \le M_{\text{f在[a,b]上确界}}\mathrm{\Delta }{x}_k-[m(x^{\prime }-x_{k-1})+m(x_k-x^{\prime })]\\ & =(M-m)\mathrm{\Delta }{x}_k\\ & =\omega \mathrm{\Delta }{x}_k\\ & \le \omega ||T||\dots (\mathrm{\Delta }{x}_k\le ||T||)\end{array}\end{array}$$

引理2

Proof

$$\begin{array}{rl}& \text{令 }T=T_1\cap T_2\text{(共同加细)}\\ & \text{则 }\underset{―}{S}(T_1)\le \underset{―}{S}(T)\le \bar{S}(T)\le \bar{S}(T_1)& \end{array}$$

• $\{\underset{―}{S}(T)|T\text{为}[a,b]\text{的分割}\}$ 为非空上有界集
  • 任何一个 $\bar{S}(T_i)$ 都为其上界
• $\{\bar{S}(T)|T\text{为}[a,b]\text{的分割}\}$ 为非空下有界集

上、下积分

• 下和的上确界
• $T:\text{ 取遍所有 }T$

上、下积分与 Darboux 上、下和的关系

Proof

$$\begin{array}{rlr}& \mathrm{\forall }\text{取 }{T}_1,T_2\text{则 }\underset{―}{S}(T_1)\le \bar{S}(T_2)& \\ & ⟹S(T_1)\le \underset{T_2}{inf}\bar{S}(T_2)=\overline{{\int }_a^b}f(x)dx\\ & {\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\text{最小上界 }\le \text{ 特殊上界}}{\underbrace{\underset{T_1}{sup}\underset{―}{S}(T_1)\le \overline{{\int }_a^b}f(x)dx}}\end{array}$$

Darboux 定理

Analysis
分析(1)的情况

$$\begin{array}{rl}\text{即 }& |\underset{―}{S}-\underset{―}{\int }|\le \epsilon \\ \text{显然 }& \underset{―}{S}\le \underset{―}{\int }+\epsilon \\ \text{即证 }& \underset{―}{S}>\underset{―}{\int }-\epsilon & \end{array}$$

Proof

$$\begin{array}{rlr}& \text{根据 sup 定义（最小上界）}& \\ & \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\text{分割}{T}_0:a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_l=b\\ & \text{使得 }\underset{―}{S}(T_0)>{\int }_a^{b}f(x)dx-\frac{\epsilon }{2}\\ & \mathrm{取}\delta =\frac{\epsilon }{2l\omega +1}(\omega \text{ 可能为 }0),\mathrm{\forall }\text{分割 }\Vert T\Vert <\delta <\frac{\epsilon }{2l\omega }:\\ & \text{令 }{T}^{\prime }=T\cup T_0,\text{则 }{T}^{\prime }\text{为 }{T}_0\text{ 与 }T\text{ 的}\mathbf{\text{共同加细}}\\ & \text{则 }{T}^{\prime }\text{ 为 }T\text{ 至多添加 }l\text{ 个 }\text{ 分点得到 }\\ & \begin{array}{rl}\therefore \underset{―}{S}(T)& \ge \underset{―}{S}(T^{\prime })-l\omega \Vert T\Vert \\ & \ge \underset{―}{S}(T_0)-l\omega \Vert T\Vert \\ & >\underset{―}{{\int }_a^b}f(x)dx-\frac{\epsilon }{2}-l\omega \Vert T\Vert & \text{ 此处回代得到 }\delta \text{ 具体值 }\\ & >\underset{―}{{\int }_a^b}f(x)dx-\epsilon \end{array}\\ & \text{ 而显然 }\underset{―}{S}(T)\le \underset{―}{{\int }_a^b}f(x)dx\\ & ⟹|\underset{―}{S}(T)-\underset{―}{{\int }_a^b}f(x)dx|<\epsilon \end{array}$$

可积/第I充要条件

• 应用：Dirichelet 函数不可积：$\mathrm{\forall }T:\underset{―}{{\int }_a^b}D(x)dx=0,$ $\overline{{\int }_a^b}D(x)dx=1$

Proof

$⟹$

已知： $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }\parallel T\parallel <\delta ,\mathrm{\forall }\xi (T)$ 有:

$${\int }_a^{b}f(x)dx-\epsilon <\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i\right)\cdot \mathrm{\Delta }{x}_i<{\int }_a^{b}f(x)dx+\epsilon$$

让 $f\left({\xi }_i\right)$ 尽可能大，并不影响左右，取上确界

$\xi (T)$ 取sup:

$${\int }_a^{b}f(x)dx-\epsilon \le \underset{―}{S}(T)\le \bar{S}(T)=\sum _{i=1}^n\underset{{\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]}{sup}f\left(x_i\right)\cdot \mathrm{\Delta }{x}_i\le {\int }_a^{b}f(x)dx+\epsilon$$

即:

$$\underset{\parallel T\parallel \to 0}{lim}\underset{―}{S}(T)={\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\parallel T\parallel \to 0}{lim}\overline{S}(T)$$

根据 #Darboux定理

$$\underset{―}{{\int }_a^b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx=\overline{{\int }_a^b}f(x)dx$$

---

$⟸$

已知: $\underset{―}{\int }=\bar{\int }$：

$\mathrm{\forall }T;\mathrm{\forall }\xi (T)$ 有:

$$\underset{―}{S}(T)\le \sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i\right)\mathrm{\Delta }{x}_i\le \bar{S}(T)$$

夹逼性：

$$\begin{array}{rl}& \underset{\parallel T\parallel \to 0}{lim}\underset{―}{S}(T)\le \underset{\parallel T\parallel \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i\right)\mathrm{\Delta }x\le \underset{\parallel T\parallel \to 0}{lim}\bar{S}(T)\\ & \mathrm{又}\because \underset{―}{\int }=\bar{\int }\\ & \therefore \underset{―}{{\int }_a^b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx=\overline{{\int }_a^b}f(x)dx\end{array}$$

推论

• 找 $\mathrm{\Delta }$ 麻烦

因此弱化成如下

可积/第II充要条件

Proof

$⟹$

由推论可证（弱化）

---

$⟸$

已知 $\mathrm{\forall }\epsilon >0,$ $\mathrm{\exists }T:\bar{S}(T)-\underset{―}{S}(T)<\epsilon$

因此

$$0\le \overline{{\int }_a^b}f(x)dx-\underset{―}{{\int }_a^b}f(x)dx\le \bar{S}(T)-\underset{―}{S}(T)<\epsilon$$

$\stackrel{\epsilon =0^{+}}{\Rightarrow }\overline{{\int }_a^b}f(x)dx-\underset{―}{{\int }_a^b}f(x)dx=0$

由 #可积/第I充要条件 即证

几何意义：零面积集

用任意小的矩形能够盖住函数 (零面积集)

• 若 $w_i$ 小：$C[a,b]$ 可满足
• 若 $w_i$ 做不到小：通常是有间断点

=> 概念： 测度

• 有界函数的振幅为任意函数插值的上确界

Analysis

用 $sup$ 定义的两个要素即可

Proof

令 $E:\{|f(x)-f(y)|,x,y\in [a,b]\}$

$M=\underset{x\in [a,b]}{sup}f(x)$

$m=\underset{x\in [a,b]}{inf}f(x)$

即证: $supE=M-m$

$$\begin{array}{rl}(1)& \mathrm{\forall }x,y\in [a,b]\text{ 有 }m\le f(x),f(y)\le M\\ & ⟹|f(x)-f(y)|\le M-m\\ \\ (2)& \mathrm{\forall }\epsilon >0,\text{ 根据 }sup,inf\text{ 定义 }\\ & \mathrm{\exists }{x}_0,y_0\in [a,b],\text{ 使得 }\\ & f(x_0)>M-\frac{\epsilon }{2}f(y_0)<m+\frac{\epsilon }{2}\\ \\ ⟹& E\ni |f(x_0)-f(y_0)|\ge f(x_0)-f(y_0)>(M-m)-\epsilon & \end{array}$$

二、可积函数及性质证明

闭区间连续→可积

Proof

由 $f\in C[a,b]$ 及 #Cantor定理 知：

$f\in U.C[a,b]$ 即 $\mathrm{\forall }\epsilon >0,$ $\mathrm{\exists }\delta >0,$ $\mathrm{\forall }{x}^{\prime },$ $x^{″}\in [a,b]$ 且 $|x^{\prime }-x^{″}|<\delta$ 有

$$|f(x^{\prime })-f(x^{″})|<\frac{\epsilon }{b-a}$$

取分割 $T$ 满足 $\Vert T\Vert <\delta$，则分割中 $\mathrm{\forall }{x}^{\prime },$ $x^{″}\in [x_{i-1},x_i]$ ， 有$|x^{\prime }-x^{″}|\le \Vert T\Vert <\delta$

故

$$|f(x^{\prime }-x^{″})|<\frac{\epsilon }{b-a}⟹w_i=\underset{x^{\prime },x^{″}\in [x_{i-1},x_i]}{sup}|f(x^{\prime })-f(x^{″})|\le \frac{\epsilon }{b-a}$$

$⟹{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\omega }_i{x}_i\le \frac{\epsilon }{b-a}\sum _{i=1}^n\mathrm{\Delta }{x}_i=\frac{\epsilon }{b-a}(b-a)=\epsilon }$

闭区间有界+有限间断→可积

符号说明：${\displaystyle \sum _{T_1}}$ 代表 关于 $T_1$ 的分点的指标求和

不妨设 $f$ 仅有一个间断点 $x^{\prime }\in (a,b)$ ：（不是分点）

记 $f$ 在 $[a,b]$ 上振幅为 $\omega$

$$\{\begin{array}{l}\alpha =x^{\prime }-{\displaystyle \frac{\epsilon }{6\omega }}\\ \beta =x^{\prime }+{\displaystyle \frac{\epsilon }{6\omega }}\end{array}\text{ 且 }\alpha ,\beta \text{ 仍 }\in [a,b]$$

由于左右至少各1个区间 => 区间长度$\le \epsilon /3\omega$
(此时理想情况 被分为 $\frac{\epsilon }{3},$ $\frac{\epsilon }{3},$ $\frac{\epsilon }{3}$ )

则 $f\in C[a,\alpha ],$ $f\in C[\beta ,b]$

从而 $f\in R[a,\alpha ],$ $f\in R[\beta ,b]$, 故 $\mathrm{\exists }[a,\alpha ]$ 的分割 $T_1$（上图橙色）；$[\beta ,b]$ 的分割 $T_2$（上图蓝色）

使得

$$\sum _{T_1}{\omega }_i\mathrm{\Delta }{x}_i<\frac{\epsilon }{3}\sum _{T_2}{\omega }_y\mathrm{\Delta }{x}_i<\frac{\epsilon }{3}$$

令 $T=T_1\cup T_2$ 为 $[a,b]$ 的分割，则

$$\begin{array}{rl}\sum _T{\omega }_i\mathrm{\Delta }{x}_i& =\sum _{T_1}{\omega }_i\mathrm{\Delta }{x}_i+{\omega }_{[\alpha ,\beta ]}\cdot \frac{\epsilon }{3\omega }+\sum _{T_2}{\omega }_y\mathrm{\Delta }{x}_i\\ & <\frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}\\ & =\epsilon \end{array}$$

单调→可积

Analysis

$w_i$ 可以足够小：分割足够细即可

绝对值中同号：$\sum |◻|=|\sum ◻|$

Proof

$\mathrm{\forall }\epsilon >0$ 取分割 $T_1:a=x_0<x_1<\cdots <x_l=b$，满足

$$\Vert T\Vert <{\displaystyle \frac{\epsilon }{\left|f(b)-f(a)+1\right|}}\dots \text{防止}f(b)=f(a)$$

则

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n{\omega }_i\mathrm{\Delta }{x}_i& =\sum _{i=1}^n|f(x_i)-f(x_{i-1})|\mathrm{\Delta }{x}_i\\ & \le \Vert T\Vert \sum _{i=1}^n|f(x_i)-f(x_{i-1})|\\ & =\Vert T\Vert \left|\sum _{i=1}^n[f(x_i)-f(x_{i-1})]\right|& \dots \text{绝对值中同号}\\ & =\Vert T\Vert \cdot |f(b)-f(a)|\\ & <\epsilon \end{array}$$

可积→分段可积

Analysis

已知：$\mathrm{\forall }\epsilon >0,$ $\mathrm{\exists }{T}_0$ 分割 $[a,b]$，使 $\sum _{T_0}{\omega }_i\mathrm{\Delta }{x}_i<\epsilon$

Proof

$⟹$

令 $T=T_0\cap \{c\}$，则 $T$ 为 $T_0$ 加细分割

$\because \bar{S}\downarrow ,$ $\underset{―}{S}\uparrow ⟹\bar{S}-\underset{―}{S}\downarrow$

$\therefore \sum _T{\omega }_i\mathrm{\Delta }{x}_i<\sum _{T_0}{\omega }_i\mathrm{\Delta }{x}_i<\epsilon$

令 $T_1=T\cap [a,c]$ (取一部分和)

显然 $\sum _{T_1}{\omega }_i\mathrm{\Delta }{x}_i<\sum _T{\omega }_i\mathrm{\Delta }{x}_i<\epsilon$

即 $f\in R[a,c]$

$⟸$

略

绝对可积

Proof

由条件：$\mathrm{\forall }\epsilon >0,$ $\mathrm{\exists }T,\sum _T{\omega }_i(f)\mathrm{\Delta }{x}_i<\epsilon$

$\because \mathrm{\forall }{x}^{\prime },x^{″}\in [x_{i-1},x_i]$ 有

$$||f(x^{\prime })|-|f(x^{″})||\le |f(x^{\prime })-f(x^{″})|$$

$⟹$

$$\underset{{\displaystyle {\omega }_i(|f|)}}{\underbrace{\underset{x^{\prime },x^{″}\in [x_{i-1},x_i]}{sup}||f(x^{\prime })|-|f(x^{″})||}}\le \underset{{\displaystyle {\omega }_i(f)}}{\underbrace{\underset{x^{\prime },x^{″}\in [x_{i-1},x_i]}{sup}|f(x^{\prime })-f(x^{″})|}}$$

从而

$$\sum _T{\omega }_i(|f|)\mathrm{\Delta }{x}_i\le \sum _T{\omega }_i(f)\mathrm{\Delta }{x}_i<\epsilon$$

平方可积

乘积可积

复合可积

Proof
摘自陈纪修版数学分析

由于 $g(u)$ 在 $[A,B]$ 连续, 所以可设 $|g(u)|⩽M$, 且 $g(u)$ 一致连续(闭区间有界)

于是 $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }{u}^{\prime },u^{\prime \prime }\in [A,B]$, 只要 $|u^{\prime }-u^{\prime \prime }|<\delta$, 就成立

$$|g\left(u^{\prime }\right)-g\left(u^{\prime \prime }\right)|<\frac{\epsilon }{2(b-a)}\cdot$$

由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积, 由上题, 对上述 $\epsilon >0$ 与 $\delta >0$, 存在划分 $P$, 使得振幅 ${\omega }_i(f)⩾\delta$ 的小区间的长度之和小于 $\frac{\epsilon }{4M}$,于是

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n{\omega }_i(g\circ f)\mathrm{\Delta }{x}_i& =\sum _{{\omega }_i(f)<\delta }{\omega }_i(g\circ f)\mathrm{\Delta }{x}_i+\sum _{{\omega }_i(f)⩾\delta }{\omega }_i(g\circ f)\mathrm{\Delta }{x}_i\\ & <\frac{\epsilon }{2(b-a)}\sum _{{\omega }_i(\rho )<\delta }\mathrm{\Delta }{x}_i+2M\sum _{{\omega }_i(\rho )⩾\delta }\mathrm{\Delta }{x}_i\\ & <\frac{\epsilon }{2(b-a)}(b-a)+2M\cdot \frac{\epsilon }{4M}=\epsilon ,\end{array}$$

即复合函数 $g(f(x))$ 在 $[a,b]$ 上可积.

闭区间有界+间断点收敛→可积

Analysis

$a+\epsilon \sim b$上有有限的间断点

只要区间长度短，振幅就不会超过 $l\omega \Vert \Vert$

Proof

$$\begin{array}{rl}& \text{由条件 }\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a,\mathrm{\forall }\epsilon >0\\ & \mathrm{\exists }N\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }n>N,a\le x_n<a+{\displaystyle \frac{\epsilon }{2\omega }}& (\omega :f\text{ 在 }[a,b]\text{ 上的振幅 })\\ & \therefore [a+{\displaystyle \frac{\epsilon }{2\omega }},b]\text{ 上 }f\text{ 至多 }N\text{ 个间断点 }\\ & \text{从而 }f\in R[a+{\displaystyle \frac{\epsilon }{2\omega }},b]\\ & \therefore \mathrm{\exists }[a+{\displaystyle \frac{\epsilon }{2\omega }},b]\text{ 的分割 }{T}_1\text{ 使得 }\\ & \sum _{T_1}{\omega }_i\mathrm{\Delta }{x}_i<\frac{\epsilon }{2}\\ & T:=T_1\cup \left\{a\right\}\\ & \begin{array}{rl}\sum _T{\omega }_i\mathrm{\Delta }{x}_i& =\underset{\text{该区间}}{\underbrace{{\omega }_{[a,a+\epsilon /(2\omega )]}}}\cdot \underset{\text{振幅}}{\underbrace{\frac{\epsilon }{2\omega }}}+\sum _{T_1}{\omega }_i{x}_i\\ & <\omega \cdot \frac{\epsilon }{2\omega }+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon \end{array}& \end{array}$$

例题：Riemann 函数可积

Analysis

设 $\delta >0$, $[0,1]$ 中满足 $\frac{1}{q}>\delta$ 的有理点 $\frac{p}{q}$ 至多有有限个

不妨设有 $m$ 个，为 ${\gamma }_1,$ ${\gamma }_2,$ ${\gamma }_3,$ $\dots ,$ ${\gamma }_m$

对分割 $T:0=x_0<x_1<\cdots <x_n=1$， 记

$\mathrm{\Lambda }=\{i|{\omega }_i>\sigma \}$
$\mathrm{\Gamma }=\{i|{\omega }_i\le \sigma \}$

于是

$$\begin{array}{rl}\sum _T{\omega }_i\mathrm{\Delta }{x}_i& =\sum _{i\in \mathrm{\Lambda }}{\omega }_i\mathrm{\Delta }{x}_i+\sum _{i\in \mathrm{\Gamma }}{\omega }_i\mathrm{\Delta }{x}_i\\ & \le \sum _{i\in \mathrm{\Lambda }}\mathrm{\Delta }{x}_i+\sigma \sum _{i\in \mathrm{\Gamma }}\mathrm{\Delta }{x}_i\\ & \le \Vert T\Vert \underset{\text{元素个数}}{\underbrace{\sum _{i\in \mathrm{\Lambda }}1}}+\sigma \cdot 1\end{array}$$

Proof

函数值小于 sigma =>振幅一定小于sigma

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{\forall }\epsilon >0,\text{Let }\sigma =\frac{\epsilon }{2}\\ & \therefore {\omega }_i>\sigma \text{ 的子区间含 }{\gamma }_i(1\le i\le m)\\ & \text{ 取 }[0,1]\text{ 分割 }T\\ & \text{s.t.}\Vert T\Vert <\frac{\epsilon }{4m}\\ & \begin{array}{rl}\sum _T{\omega }_i{x}_i& \le \Vert T\Vert \sum _{i\in \mathrm{\Lambda }}1+\sigma \\ & <\frac{\epsilon }{4m}\cdot 2m+\frac{\epsilon }{2}\\ & =\epsilon \end{array}& \end{array}$$

---

Proof.2
摘自陈纪修版本数学分析

由 Riemann 函数的性质, 对任意给定的 $0<\epsilon <2$ ,在 $[0,1]$ 上使得$R(x)>\frac{\epsilon }{2}$ 的点至多只有有限个

不妨设是 $k$ 个，记为 $0=p_1^{\prime }<p_2^{\prime }<\cdots <p_k^{\prime }=1$.

作 $[0,1]$ 的划分 $0=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{2k-1}=1$ , 使得满足

$p_1^{\prime }\in [x_0,x_1),x_1-x_0<\frac{\epsilon }{2k}$,

$p_2^{\prime }\in (x_2,x_3),x_3-x_2<\frac{\epsilon }{2k},$

.....

$p_{k-1}^{\prime }\in (x_{2k-4},x_{2k-3}),x_{2k-3}-x_{2k-4}<\frac{\epsilon }{2k}$,

$p_k^{\prime }\in (x_{2k-2},x_{2k-1}],x_{2k-1}-x_{2k-2}<\frac{\epsilon }{2k}$,

图 7.1.6 表示的是$k=3$的情况.由于

$$\sum _{t=1}^{2k-1}{\omega }_i\mathrm{\Delta }{x}_i=\sum _{j=0}^{k-1}{\omega }_{2j+1}\mathrm{\Delta }{x}_{2j+1}+\sum _{j=1}^{k-1}{\omega }_{2j}\mathrm{\Delta }{x}_{2j}$$

而在右边的第一个和式中，有$\mathrm{\Delta }{x}_{2j+1}<\frac{\epsilon }{2k}$且${\omega }_{2j+1}\le 1$;
在第二个和式中，有${\omega }_{2j}\le \frac{\epsilon }{2}$且$\sum _{j=1}^{k-1}\mathrm{\Delta }{x}_{2j}<1$,

因此得到

$\sum _{i=1}^n{\omega }_i\mathrm{\Delta }{x}_i<k\cdot \frac{\epsilon }{2k}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$ .

由定理 7.1.3, Riemann函数可积.

证毕

如图为 $k=3$ （有两个点超出）的情况

满足：1. ${\gamma }_i\in (x_{i-1},x_i)$；2. $x_i-x_{i-1}<\delta ={\displaystyle \frac{\epsilon }{m}}$